Τοπολογικός Χώρος
Ένας τοπολογικός χώρος (τ.χ.) είναι μία αρκετά ευρεία και γενική έννοια. Ορίζεται εύκολα και είναι εξαιρετικής σημασίας.
Φανταστείτε ένα σύνολο. Οποιοδήποτε σύνολο. Μπορεί να είναι το σύνολο όλων των σωματιδίων στον πλανήτη ή στο σύμπαν, τα χρήματα σε μία τσέπη ή οι μαλάκες γύρω σας. Ας ονομάσουμε αυτό το σύνολο των οτιδήποτε με ένα γράμμα. Ας πούμε Χ. Ακόμη φανταστείτε ένα μάτσο υποσύνολα του Χ. Άλλα μικρά συνολάκια δηλαδή που ανήκουν όμως στο Χ. Το μάτσο το ονομάζουμε Μ.
Ένας τ.χ. τώρα δεν είναι τίποτα άλλο από ένα σύνολο Χ μαζί με ένα μάτσο Μ ανοικτών υποσυνόλων, τα οποία όμως πρέπει να υπακούν (σέβονται) μια σειρά πράματα (συνθήκες):
Παράδειγμα: Ας πούμε ότι έχουμε το μάτσο Δ όλων των υποσυνόλων του Χ. Παρατηρήστε ότι ο Δ ικανοποιεί τα αξιώματα για να είναι τοπολογικός χώρος (ή αλλιώς τοπολογία στο Χ). Η τοπολογία αυτή ονομάζεται διακριτή τοπολογία. Και ο Χ μαζί με τη διακριτή τοπολογία αυτή, το ζευγάρι (Χ,Δ) δηλαδή, αν δεν το καταλάβατε ακόμα ζώα, ονομάζεται Διακριτός τοπολογικός χώρος ή απλώς διακριτός χώρος.
Άσκηση: Δείξτε ότι το σύνολο όλων των μαλακιών που έχετε τραβήξει δεν αποτελεί τοπολογικό χώρο. Χρησιμοποιείστε ως υποσύνολα "μαλακίες μετά από τσόντα", "μετά απο κλαμπ", "στις διακοπές" κλπ
Προσεχώς: Τοπολογικός Χώρος Hausdorff, Σύνολο Cantor
Φανταστείτε ένα σύνολο. Οποιοδήποτε σύνολο. Μπορεί να είναι το σύνολο όλων των σωματιδίων στον πλανήτη ή στο σύμπαν, τα χρήματα σε μία τσέπη ή οι μαλάκες γύρω σας. Ας ονομάσουμε αυτό το σύνολο των οτιδήποτε με ένα γράμμα. Ας πούμε Χ. Ακόμη φανταστείτε ένα μάτσο υποσύνολα του Χ. Άλλα μικρά συνολάκια δηλαδή που ανήκουν όμως στο Χ. Το μάτσο το ονομάζουμε Μ.
Ένας τ.χ. τώρα δεν είναι τίποτα άλλο από ένα σύνολο Χ μαζί με ένα μάτσο Μ ανοικτών υποσυνόλων, τα οποία όμως πρέπει να υπακούν (σέβονται) μια σειρά πράματα (συνθήκες):
- Το άδειο σύνολο βρίσκεται στο μάτσο Μ, ένα δηλαδή από τα συνολάκια μας δεν περιέχει τίποτα. Ντιπ.
- Ολάκερο το σύνολο Χ ανήκει στο μάτσο Μ (αφού το σύνολο ειναι υποσύνολο και το ιδιο)
- Η ένωση δύο (ή πολλών αλλά όχι απείρων) συνόλων του Μ ανήκει επίσης στο Μ
- Η τομή ενός (όσο μεγάλου, ακόμα και άπειρου) αριθμού συνόλων του Μ ανήκει στο Μ
Παράδειγμα: Ας πούμε ότι έχουμε το μάτσο Δ όλων των υποσυνόλων του Χ. Παρατηρήστε ότι ο Δ ικανοποιεί τα αξιώματα για να είναι τοπολογικός χώρος (ή αλλιώς τοπολογία στο Χ). Η τοπολογία αυτή ονομάζεται διακριτή τοπολογία. Και ο Χ μαζί με τη διακριτή τοπολογία αυτή, το ζευγάρι (Χ,Δ) δηλαδή, αν δεν το καταλάβατε ακόμα ζώα, ονομάζεται Διακριτός τοπολογικός χώρος ή απλώς διακριτός χώρος.
Άσκηση: Δείξτε ότι το σύνολο όλων των μαλακιών που έχετε τραβήξει δεν αποτελεί τοπολογικό χώρο. Χρησιμοποιείστε ως υποσύνολα "μαλακίες μετά από τσόντα", "μετά απο κλαμπ", "στις διακοπές" κλπ
Προσεχώς: Τοπολογικός Χώρος Hausdorff, Σύνολο Cantor
No comments:
Post a Comment