ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Τοπολογία

Η Τοπολογία είναι η μαθηματική μελέτη των διατηρούμενων ιδιοτήτων κάτω από συνεχείς παραμορφώσεις, συστροφές και τανύσεις αντικειμένων. Το σκίσιμο παρ'όλα αυτά δεν επιτρέπεται. Για παράδειγμα ένας κύκλος είναι τοπολογικά ισοδύναμος με μία έλλειψη (ο κύκλος μπορεί να παραμορφωθεί σε έλλειψη) και μία σφαίρα με ένα ελλειψοειδές. Στην ουσία η τοπολογία είναι επέκταση της γεωμετρίας, ενώ είναι βασισμένη στη Θεωρία Συνόλων, θεωρώντας και τα σύνολα των σημείων και τις οικογένειες των συνόλων.
Με δυο λόγια η τοπολογία μελετά τους χώρους υπό το πρίσμα καποιον ιδιοτήτων οι οποίες μένουν αναλλοίωτες κάτω από απεικονίσεις - ομοιομορφισμούς. Αυτό επιτρέπει την ταξινόμηση των χώρων σε κατηγορίες - κλάσεις ισοδυναμίας.

Λήμμα: όλοι οι χώροι δύο διαστάσεων με μία τρούπα είναι τοπολογικά ισοδύναμοι.

Ερώτηση: Τι είναι ένας τοπολόγος;
Απάντηση: κάποιος που δεν μπορεί να ξεχωρίσει ένα στρόγγυλο κουλούρι από ένα φλυτζάνι

Άσκηση: Αποδείξτε το ανωτέρω λήμμα
Είναι ένας κώλος τοπολογικά ισοδύναμος με (και συνεπώς) μη διακρίσιμος από ένα φλυτζάνι;



Προσεχώς: Τοπολογικός χώρος, φράκταλ (μορφοκλασματικά σύνολα), Θεωρία Τόπου (διάκριση από τοπολογία)